Rangul unei matrice

Învață prin exerciții interactive noțiunile din lecția de clasa a XI-a: minor, rang, metoda minorilor, proprietăți și discuții cu parametru — cu verificare automată și soluții pas cu pas.

Aritmetică exactă (fără rotunjiri) Soluții pas cu pas Progres salvat local ▶ Lecția video

1 Teorie pe scurt

Citește definițiile, apoi exersează mai jos. Apasă pe fiecare card ca să-l deschizi.

① Ce este un minor?
Definiție. Fie A o matrice cu m linii și n coloane și k un număr natural cu 1 ≤ k ≤ min(m, n). Determinantul unei matrice pătratice formate din k linii și k coloane ale lui A se numește minor de ordinul k al matricei A.

Ideea-cheie: dintr-o matrice „decupezi” k linii și k coloane și calculezi determinantul submatricei obținute. Trebuie să fie pătratică (același număr de linii și coloane), altfel determinantul nici nu există.

Exemplu: dintr-o matrice 3×4 poți forma minori de ordin 1, 2 sau 3 (nu și 4 — n-ai decât 3 linii).

② Definiția rangului
Definiție. Dacă A este o matrice nenulă, atunci rangul ei este numărul natural r ≥ 1 cu proprietățile (ambele simultan):
  1. există cel puțin un minor de ordin r nenul;
  2. orice minor de ordin mai mare decât r (dacă există) este nul.
Notăm rang(A) = r. Pentru matricea nulă, rang = 0.

Pe scurt: rangul = ordinul celui mai mare minor nenul.

③ Metoda minorilor (cum calculezi practic)
  1. Pornești de la un minor de ordinul 1 (un element) nenul.
  2. Îl „bordezi”: construiești un minor de ordin superior care îl conține. Dacă găsești unul nenul, urci mai departe.
  3. Te oprești când toți minorii de ordinul următor sunt nuli. Ordinul ultimului minor nenul găsit = rangul.

Atenție! Nu te oprești la primul minor nenul. Trebuie să verifici că toți minorii de ordin imediat superior sunt nuli — definiția cere ambele condiții.

Mărginire utilă: pentru o matrice m×n, avem mereu 1 ≤ rang(A) ≤ min(m, n) (dacă A ≠ 0).

④ Proprietăți
  • Transpusa are același rang: rang(Aᵀ) = rang(A).
  • Schimbarea a două linii (sau coloane) între ele nu schimbă rangul.
  • Înmulțirea unei linii/coloane cu un număr nenul nu schimbă rangul.
  • Adunarea la o linie (coloană) a altei linii (coloane) înmulțite cu un număr nu schimbă rangul.

Aceste transformări elementare stau la baza metodei eliminării (Gauss), folosită de „Calculatorul” de mai jos.

2 Explorează minorii

Selectează linii (butoanele din stânga) și coloane (butoanele de sus). Când ai ales tot atâtea linii cât coloane, vezi minorul format și determinantul lui. Scopul: găsește cel mai mare minor nenul → acela e rangul.

Ordin selectat: 0
Determinantul minorului: —

3 Calculator de rang

Scrie orice matrice (o linie per rând, numere separate prin spațiu sau virgulă; merg și fracții ca 1/2 sau zecimale). Calculatorul îți dă rangul exact și arată pașii (metoda eliminării) + un minor maximal nenul.

Rezultatul apare aici…

4 Antrenament: calculează rangul

Alege rangul matricei, verifică-te și deschide soluția pas cu pas (metoda minorilor). Progresul se salvează automat.

Dificultate:

5 Discuții cu parametru

Aici rangul depinde de un parametru real a. Determină rangul pentru valori generice și valorile critice unde rangul scade, apoi vezi discuția completă.